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電勢
時間：2022-10-16 人氣： 來源：山東合運電氣有限公司
在這篇文章內(nèi) 在靜電學里 電勢的數(shù)值不具有絕對意義，只具有相對意義 電勢必需滿足泊松方程，同時符合相關(guān)邊界條件；假設(shè)在某區(qū)域內(nèi)的電荷密度為零，則泊松方程約化為拉普拉斯方程，電勢必需滿足拉普拉斯方程。 在電動力學里，當含時電磁場存在的時候，電勢可以延伸為“廣義電勢”。特別注意 處于外電場的帶電粒子會受到外電場施加的作用力 作用力與勢能之間有非常直接的關(guān)系 對于某種特別作用力，科學家可以定義其向量場和其位勢，使得物體因為這向量場而具有的勢能，只與物體位置、參考位置之間的距離有關(guān)。稱這種作用力為保守力，這種向量場為保守場。 例如，重力、靜電場的電場力，都是保守力。靜電場的標勢稱為電勢，或稱為靜電勢。 電勢和磁矢勢共同形成一個四維向量，稱為四維勢。從某一個慣性參考系觀察到的四維勢，應(yīng)用洛倫茲變換，可以計算出另外一個慣性參考系所觀察到的四維勢。 在靜電學里，電場{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}內(nèi)某位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的電勢{\displaystyle\phi}\phi，以方程定義為[2] {\displaystyle\phi(\mathbf{r})\{\stackrel{def}{=}}\U_{\mathrm{E}}(\mathbf{r})/q}\phi(\mathbf{r})\\stackrel{def}{=}\U_\mathrm{E}(\mathbf{r})/q； 其中，{\displaystyle U_{\mathrm{E}}}U_\mathrm{E}是在位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的檢驗電荷{\displaystyle q}q所具有的電勢能。 電勢能的數(shù)值是人為設(shè)定的，沒有絕對意義，只有相對于某參考位置的已設(shè)定參考值時才有物理意義。假若要設(shè)定電勢能在空間任意位置的數(shù)值，必須先設(shè)定其在某參考位置{\displaystyle\mathbf{r}_{0}}\mathbf{r}_0的數(shù)值。為了方便運算，假設(shè)其參考數(shù)值為0。然后，就可以將在位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的電勢能{\displaystyle U_{\mathrm{E}}(\mathbf{r})}U_\mathrm{E}(\mathbf{r})定義為從參考位置{\displaystyle\mathbf{r}_{0}}\mathbf{r}_0緩慢地將檢驗電荷{\displaystyle q}q移動至{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}所需做的機械功{\displaystyle W}W： {\displaystyle U_{\mathrm{E}}(\mathbf{r})\{\stackrel{def}{=}}\W}U_\mathrm{E}(\mathbf{r})\\stackrel{def}{=}\W。 移動檢驗電荷時所施加的外力{\displaystyle\mathbf{F}}\mathbf{F}，必須恰巧抵消處于電場{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}的檢驗電荷{\displaystyle q}q所感受到的電場力{\displaystyle q\mathbf{E}}q\mathbf{E}，即{\displaystyle\mathbf{F}=-q\mathbf{E}}\mathbf{F}=-q\mathbf{E}。其所做機械功等于外力{\displaystyle\mathbf{F}}\mathbf{F}的路徑積分： {\displaystyle W=\int _{\mathbb{L}}\mathbf{F}\cdot\mathrm6c0mmyg{\boldsymbol{\ell}}=-q\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrme0uswmo{\boldsymbol{\ell}}}W=\int_\mathbb{L}\mathbf{F}\cdot\mathrm0a0gsmy\boldsymbol{\ell}=-q\int_\mathbb{L}\mathbf{E}\cdot\mathrmqegeks0\boldsymbol{\ell} 其中，{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}是從參考位置{\displaystyle\mathbf{r}_{0}}\mathbf{r}_0到位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的一條任意路徑 在靜電學里，{\displaystyle\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}=0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}=0 {\displaystyle U_{\mathrm{E}}(\mathbf{r})=-q\int _{\infty}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}\cdot\mathrmiukeo00{\boldsymbol{\ell}}}U_\mathrm{E}(\mathbf{r})=-q\int_\infty^\mathbf{r}\mathbf{E}\cdot\mathrmq8asig0\boldsymbol{\ell}。 所以，電勢就是從無窮遠位置到檢驗位置對于電場做路徑積分所得結(jié)果的負值： {\displaystyle\phi(\mathbf{r})=-\int _{\infty}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}\cdot\mathrmg00qwkc{\boldsymbol{\ell}}}\phi(\mathbf{r})=-\int_\infty^\mathbf{r}\mathbf{E}\cdot\mathrm0uwcy0s\boldsymbol{\ell}。 在任意兩個位置{\displaystyle\mathbf{r}_{1}}\mathbf{r}_1、{\displaystyle\mathbf{r}_{2}}\mathbf{r}_2之間的“電勢差”{\displaystyle\Delta\phi}\Delta\phi為 {\displaystyle\Delta\phi=\phi(\mathbf{r}_{2})-\phi(\mathbf{r}_{1})=-\int _{\mathbf{r}_{1}}^{\mathbf{r}_{2}}\mathbf{E}\cdot\mathrmeieg8y0{\boldsymbol{\ell}}}\Delta\phi=\phi(\mathbf{r}_2)-\phi(\mathbf{r}_1)=-\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{E}\cdot\mathrmagu0o8k\boldsymbol{\ell}。 由于電場{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是保守場，電勢差也與積分路徑無關(guān)，只跟積分路徑的初始位置與終止位置有關(guān) 點電荷 由點電荷Q所產(chǎn)生的電勢，在距離r時 {\displaystyle V={\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}}{\frac{Q}{r}}}V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r} 其中 在無限遠處 疊加原理 電場遵守疊加原理：假設(shè)在三維空間里，由兩組完全不相交的電荷分布所產(chǎn)生的電場分別為{\displaystyle\mathbf{E}_{1}}\mathbf{E}_1 總電勢為每單位電荷克服電場力所做的機械功之和： {\displaystyle\phi _{t}(\mathbf{r})=-\int _{\infty}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}_{t}\cdot\mathrma008msg{\boldsymbol{\ell}}=-\int _{\infty}^{\mathbf{r}}(\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2})\cdot\mathrmaes8ieu{\boldsymbol{\ell}}=\phi _{1}(\mathbf{r})+\phi _{2}(\mathbf{r})}\phi_t(\mathbf{r})=-\int_\infty^\mathbf{r}\mathbf{E}_t\cdot\mathrm2cwgmu0\boldsymbol{\ell}=-\int_\infty^\mathbf{r}(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2)\cdot\mathrmi0ikmg0\boldsymbol{\ell}=\phi_1(\mathbf{r})+\phi_2(\mathbf{r}) 所以，電勢也遵守疊加原理 電勢的微分方程 應(yīng)用積分符號內(nèi)取微分方法 {\displaystyle\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})=-\mathbf{\nabla}\int _{\infty}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}(\mathbf{r}')\cdot\mathrm0qscoac{\boldsymbol{\ell}}^{\,\prime}=-\mathbf{E}(\mathbf{r})}\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})=-\mathbf{\nabla}\int_\infty^\mathbf{r}\mathbf{E}(\mathbf{r}')\cdot\mathrmsio0o0o\boldsymbol{\ell}^{\,\prime}=-\mathbf{E}(\mathbf{r}) 所以 {\displaystyle\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r})}\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\mathbf{\nabla}\phi(\mathbf{r}) 根據(jù)高斯定律的方程 {\displaystyle\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon _{0}}\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0； 其中 所以，電勢滿足泊松方程： {\displaystyle\nabla^{2}\phi=-\rho/\epsilon _{0}}\nabla^2\phi=-\rho/\epsilon_0 假設(shè)電荷密度為零 {\displaystyle\nabla^{2}\phi=0}\nabla^2\phi=0 請注意 由于電勢乃是標量，而電場是具有三個分量的向量 拉普拉斯方程的解答 在某空間區(qū)域內(nèi) 邊界條件 在靜電學里 狄利克雷邊界條件：在所有邊界，電勢都已良態(tài)給定。具有這種邊界條件的問題稱為狄利克雷問題 紐曼邊界條件：在所有邊界 混合邊界條件：一部分邊界的電勢都已良態(tài)給定，其它邊界的電勢的法向?qū)?shù)也已良態(tài)給定 根據(jù)拉普拉斯方程的唯一性定理，對于這些種類的邊界條件，拉普拉斯方程的解答都具有唯一性。所以，只要找到一個符合邊界條件的解答，則這解答必定為正確解答。 分離變數(shù)法 應(yīng)用分離變數(shù)法來解析拉普拉斯方程，可以將問題的偏微分方程改變?yōu)橐唤M較容易解析的常微分方程。對于一般問題，通常會采用直角坐標系、圓柱坐標系或球坐標系來分離拉普拉斯方程。但是，對于其它比較特別的問題，另外還有八種坐標系可以用來分離拉普拉斯方程 兩個半平面導(dǎo)體案例 被位于{\displaystyle y=0}y=0的絕緣線條分隔為處于y+ 假設(shè)在xy-平面的無限平面導(dǎo)體被一條位于{\displaystyle y=0}y=0的絕緣線條分為兩半，兩個處于y+、y--半平面的導(dǎo)體的電勢分別設(shè)定為{\displaystyle+V}+V、{\displaystyle-V}-V，則計算z+-半空間任意位置的電勢這問題，由于邊界條件的幾何形狀適合用直角坐標來描述，可以以直角坐標{\displaystyle(x,y,z)}(x,y,z)將拉普拉斯方程表示為： {\displaystyle\nabla^{2}\phi={\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}}+{\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}}=0}\nabla^2\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=0。 因為這案例與x-坐標無關(guān)，方程可以簡化為 {\displaystyle\nabla^{2}\phi(y,z)={\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}}=0}\nabla^2\phi(y,z)=\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=0。 應(yīng)用分離變數(shù)法，猜想解答的形式為 {\displaystyle\phi(y,z)=Y(y)Z(z)}\phi(y,z)=Y(y)Z(z)。 將這公式代入拉普拉斯方程，則可得到 {\displaystyle{\frac{1}{Y(y)}}\{\frac{\mathrm08g0mau^{2}Y(y)}{\mathrmgsweq0ay^{2}}}+{\frac{1}{Z(z)}}\{\frac{\mathrmqacw0my^{2}Z(z)}{\mathrmoom0qwuz^{2}}}=0}\frac{1}{Y(y)}\\frac{\mathrmwioggcu^2 Y(y)}{\mathrmm0c0k0cy^2}+\frac{1}{Z(z)}\\frac{\mathrmwskei0m^2 Z(z)}{\mathrmuwew0miz^2}=0。 注意到這方程的每一個項目都只含有一個變量，并且跟其它變量無關(guān)。所以，每一個項目都等于常數(shù)： {\displaystyle{\frac{1}{Y(y)}}\{\frac{\mathrmksekaaa^{2}Y(y)}{\mathrmo0coeway^{2}}}=C}\frac{1}{Y(y)}\\frac{\mathrmiu0uqe8^2 Y(y)}{\mathrm0waecmgy^2}=C、 {\displaystyle{\frac{1}{Z(z)}}\{\frac{\mathrm2m8a0yy^{2}Z(z)}{\mathrmmque0k0z^{2}}}=-C}\frac{1}{Z(z)}\\frac{\mathrmmo8000k^2 Z(z)}{\mathrmai0ewuwz^2}=-C。 這樣，一個二次偏微分方程被改變?yōu)閮蓚€簡單的二次常微分方程。解答分別為 {\displaystyle Y(y)=A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky}}Y(y)=A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky}、 {\displaystyle Z(z)=B_{1}e^{kz}+B_{2}e^{-kz}}Z(z)=B_1 e^{kz}+B_2 e^{-kz} 其中，{\displaystyle A_{1}(k)}A_1(k) 當{\displaystyle z}z趨向于無窮大時，{\displaystyle Z(z)}Z(z)趨向于零，所以，{\displaystyle B_{1}=0}B_1=0。綜合起來，電勢為 {\displaystyle\phi(y,z)=\int _{0}^{\infty}(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})e^{-kz}\mathrmywqeosyk}\phi(y,z)=\int_0^{\infty}(A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky})e^{-kz}\mathrmm0w0wswk。 由于在{\displaystyle z=0}z=0，y+、y--半平面的電勢分別為{\displaystyle+V}+V、{\displaystyle-V}-V，所以， 當{\displaystyle y>0}y>0時，{\displaystyle\int _{0}^{\infty}(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrmekqeiwak=+V}\int_0^{\infty}(A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky})\mathrmkmqewm0k=+V、 當{\displaystyle y<0}y<0時，{\displaystyle\int _{0}^{\infty}(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrmsqsikwek=-V}\int_0^{\infty}(A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky})\mathrm0m0gsqyk=-V。 應(yīng)用傅里葉變換，可以得到 {\displaystyle A_{1}(k)={\frac{V}{2\pi}}\left(\int _{0}^{\infty}e^{-iky'}\mathrmuy800esy'-\int _{-\infty}^{0}e^{-iky'}\mathrmciiykuiy'\right)}A_1(k)=\frac{V}{2\pi}\left(\int_0^{\infty}e^{-iky'}\mathrm40imkouy'-\int_{-\infty}^0 e^{-iky'}\mathrma00wgosy'\right)、 {\displaystyle A_{2}(k)={\frac{V}{2\pi}}\left(\int _{0}^{\infty}e^{iky'}\mathrm00qgesky'-\int _{-\infty}^{0}e^{iky'}\mathrmk0qiqwmy'\right)}A_2(k)=\frac{V}{2\pi}\left(\int_0^{\infty}e^{iky'}\mathrmymgiequy'-\int_{-\infty}^0 e^{iky'}\mathrmagwcam0y'\right)。 所以 {\displaystyle{\begin{aligned}\phi _{1}&={\frac{V}{2\pi}}\int _{0}^{\infty}\mathrmwayokyek\left\{\int _{0}^{\infty}e^{ik(y-y')-kz}\mathrmsym0ge0y'-\int _{-\infty}^{0}e^{ik(y-y')-kz}\mathrmsuamyysy'\right\}\\&=-\{\frac{V}{2\pi}}\int _{0}^{\infty}{\frac{\mathrmuc0wuesy'}{i(y-y')-z}}+\{\frac{V}{2\pi}}\int _{-\infty}^{0}{\frac{\mathrmwooky0ky'}{i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}}\begin{align}\phi_1&=\frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\mathrmagamiaok\left\{\int_0^{\infty}e^{ik(y-y')-kz}\mathrmoy0wk0ay'-\int_{-\infty}^0e^{ik(y-y')-kz}\mathrms0cu0qwy'\right\}\\ &=-\\frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{\mathrmqs0gquuy'}{i(y-y')-z}+\\frac{V}{2\pi}\int_{-\infty}^0\frac{\mathrmkiscc0wy'}{i(y-y')-z}\\ \end{align} 類似地，由{\displaystyle A_{2}(k)}A_2(k)項目貢獻出的電勢為 {\displaystyle{\begin{aligned}\phi _{2}&={\frac{V}{2\pi}}\int _{0}^{\infty}\mathrmqgk0cwmk\left\{\int _{0}^{\infty}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrms0mcyoqy'-\int _{-\infty}^{0}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrmg0cukoqy'\right\}\\&=-\{\frac{V}{2\pi}}\int _{0}^{\infty}{\frac{\mathrm0qwcuyiy'}{-i(y-y')-z}}+\{\frac{V}{2\pi}}\int _{-\infty}^{0}{\frac{\mathrmwc8aqeoy'}{-i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}}\begin{align}\phi_2&=\frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\mathrmcisaqsak\left\{\int_0^{\infty}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrmceym0iky'-\int_{-\infty}^0e^{-ik(y-y')-kz}\mathrmmw0kmcuy'\right\}\\ &=-\\frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{\mathrmccuqmewy'}{-i(y-y')-z}+\\frac{V}{2\pi}\int_{-\infty}^0\frac{\mathrmkim0wywy'}{-i(y-y')-z}\\ \end{align} 總電勢為[4] {\displaystyle{\begin{aligned}\phi&={\frac{Vz}{\pi}}\int _{0}^{\infty}{\frac{\mathrmqmqi80ey'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\{\frac{Vz}{\pi}}\int _{-\infty}^{0}{\frac{\mathrmm00egcuy'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\\&={\frac{2V}{\pi}}\\arctan{\left({\frac{y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}}\begin{align}\phi&=\frac{Vz}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{\mathrmg88aciuy'}{(y-y')^2+z^2}-\\frac{Vz}{\pi}\int_{-\infty}^0\frac{\mathrmqkucy00y'}{(y-y')^2+z^2}\\ &=\frac{2V}{\pi}\\arctan{\left(\frac{y}{z}\right)}\\ \end{align} 電荷分布所產(chǎn)生的電勢 根據(jù)庫侖定律，一個源位置為{\displaystyle\mathbf{r}'}\mathbf{r}'的點電荷{\displaystyle q}q {\displaystyle\mathbf{E}(\mathbf{r})={\frac{q}{4\pi\epsilon _{0}}}\{\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}}}\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3} 對于一群點電荷 {\displaystyle\mathbf{E}(\mathbf{r})={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}'){\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}}\\mathrmec8ykea^{3}r'}\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\\mathrmm0y0uws^3 r'； 其中 應(yīng)用一條向量恒等式， {\displaystyle\nabla{\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}=-\{\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}}}\nabla\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=-\\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}， 可以得到 {\displaystyle\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\{\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\nabla\int _{\mathbb{V}'}{\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\\mathrmyyue0ui^{3}r'}\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\nabla\int_{\mathbb{V}'}\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\\mathrmagow000^3 r'。 設(shè)定在無窮遠的電勢為參考值0，則在任意位置的電勢為 {\displaystyle\phi(\mathbf{r})={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}{\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\\mathrm0uw0gc0^{3}r'}\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\\mathrmugi0is0^3 r'；（1） 應(yīng)用一則關(guān)于狄拉克δ函數(shù)的向量恒等式 {\displaystyle\nabla^{2}\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right) =-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}') 假設(shè)檢驗位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}在積分體積{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'內(nèi)，則可得到泊松方程： {\displaystyle\nabla^{2}\phi(\mathbf{r})={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}\nabla^{2}\left({\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)\\mathrm0kakeuc^{3}r'=-\{\frac{1}{\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\\mathrmoquywqw^{3}r'=-\{\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon _{0}}}}\nabla^2\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\nabla^2\left(\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right) \\mathrmgemewa0^3 r'=-\\frac{1}{\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\rho(\mathbf{r}')\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\\mathrm8equkoa^3 r' =-\\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0} 所以，電勢的方程（1）為泊松方程的解答 邊界條件 電勢的方程（1）只考慮到一群電荷分布所產(chǎn)生的電勢。假若遭遇邊界條件為電勢的靜電學問題 根據(jù)格林第二恒等式，對于任意良態(tài)函數(shù){\displaystyle\phi(\mathbf{r})}\phi(\mathbf{r})與{\displaystyle\psi(\mathbf{r})}\psi(\mathbf{r}) {\displaystyle\int _{\mathbb{V}}\left(\phi\nabla^{2}\psi-\psi\nabla^{2}\phi\right)\\mathrm40i0esq^{3}r=\oint _{\mathbb{S}}\left(\phi{\partial\psi\over\partial n}-\psi{\partial\phi\over\partial n}\right)\\mathrm0uoe0o0^{2}r}\int_{\mathbb{V}}\left(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi\right)\\mathrm2sgy0my^3 r=\oint_{\mathbb{S}}\left(\phi{\partial\psi\over\partial n}-\psi{\partial\phi\over\partial n}\right)\\mathrmgimkuac^2 r 其中，{\displaystyle\mathbb{V}}\mathbb{V}是積分體積 設(shè)定{\displaystyle\phi(\mathbf{r}')}\phi(\mathbf{r}')為在{\displaystyle\mathbf{r}'}\mathbf{r}'的電勢，{\displaystyle\psi={\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}}\psi=\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}為{\displaystyle\mathbf{r}'}\mathbf{r}'與{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}之間的距離 {\displaystyle\int _{\mathbb{V}'}\left[\phi(\mathbf{r}')\nabla^{2}\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)+{\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\epsilon _{0}|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right]\mathrmyqimwi0^{3}r'=\oint _{\mathbb{S}'}\left[\phi\{\partial\over\partial n'}\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)-\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right){\partial\phi\over\partial n'}\right]\mathrmsys00sy^{2}r'}\int_{\mathbb{V}'}\left[\phi(\mathbf{r}')\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)+\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\epsilon_0|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right]\mathrmmkamsyi^3 r'=\oint_{\mathbb{S}'}\left[\phi\{\partial\over\partial n'}\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)-\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right){\partial\phi\over\partial n'}\right]\mathrmu0mig0y^2 r' 再應(yīng)用向量恒等式 {\displaystyle\nabla^{2}\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}') 假設(shè)檢驗位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}在積分體積{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'內(nèi) {\displaystyle\phi(\mathbf{r})={\frac{1}{4\pi\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb{V}'}{\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\\mathrmwqymmue^{3}r'+{\frac{1}{4\pi}}\oint _{\mathbb{S}'}\left[\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right){\partial\phi\over\partial n'}-\phi\{\partial\over\partial n'}\left({\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}\right)\right]\mathrmkwiiw00^{2}r'}\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\\mathrmyu0ca0e^3 r'+\frac{1}{4\pi}\oint_{\mathbb{S}'}\left[\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right){\partial\phi\over\partial n'}-\phi\{\partial\over\partial n'}\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)\right]\mathrmo0uuysi^2 r' 這方程右手邊的體積分就是電勢的方程（1），而面積分就是因為邊界條件而添加的項目 根據(jù)柯西邊界條件，有時候 假若積分體積為無窮大空間，當{\displaystyle r'}r'趨向于無窮大時 格林函數(shù) 包括函數(shù){\displaystyle 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|在內(nèi)，有一類函數(shù){\displaystyle G(\mathbf{r},\mathbf{r}')}G(\mathbf{r},\mathbf{r}')，稱為格林函數(shù)，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用{\displaystyle\mathbf{r}\,\!}\mathbf{r}\,\!表示；而其大小則用{\displaystyle r\,\!}r\,\!來表示 。
，電勢（electric potential）又稱電位[1]，是描述電場中某一點之能量高低性質(zhì)的物理標量 ，操作型定義為“電場中某處的電勢”等于“處于電場中該位置的單位電荷所具有的電勢能”[2]，單位用伏特 。 ，因此為了便于分析問題 ，必須設(shè)定一個參考位置 ，并把它設(shè)為零 ，稱為零勢能點。通常 ，會把無窮遠處的電勢設(shè)定為零 。那么，電勢可以定義如下：假設(shè)檢驗電荷從無窮遠位置，經(jīng)過任意路徑，克服電場力，以緩慢、沒有產(chǎn)生加速度的方式移動到某位置，則在這位置的電勢，等于因移動檢驗電荷所做的功與檢驗電荷的電荷量的比值。在國際單位制里，電勢的單位為伏特（{\displaystyle\scriptstyle{{\text{V}}={\text{J}}/{\text{C}}}}{\displaystyle\scriptstyle{{\text{V}}={\text{J}}/{\text{C}}}}）（Volt），它是為了紀念意大利物理學家亞歷山德羅·伏打（Alessandro Volta）而命名。 ，廣義電勢不能被視為電勢能每單位電荷。簡介
，稱為電場力 ，促使帶電粒子加速運動 。對于帶正電粒子，電場力與電場同方向 ；對于帶負電粒子，電場力與電場反方向 。電場力的數(shù)值大小與電荷量 、電場數(shù)值大小成正比。 。隨著物體朝著作用力的方向的加速運動，物體的動能變大，勢能變小。例如，一個石頭在山頂?shù)闹亓菽艽笥谠谏侥_的重力勢能。隨著物體的滾落，重力勢能變小，動能變大。靜電學里的電勢
；，{\displaystyle\mathrmik00gok{\boldsymbol{\ell}}}\mathrmys0aiwg{\boldsymbol{\ell}}是微小線元素。，電場是保守場，所以，在積分時，可以選擇任意路徑{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}，計算出來的結(jié)果都一樣。欲知更詳盡細節(jié)，請參閱條目保守力。由于這方程右邊的路徑積分跟路徑{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}無關(guān)，只跟路徑的初始位置{\displaystyle\mathbf{r}_{0}}\mathbf{r}_0、終止位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}有關(guān)，因此若能夠假設(shè)無窮遠位置{\displaystyle\infty}\infty的電勢能為0，則可以設(shè)定參考位置{\displaystyle\mathbf{r}_{0}}\mathbf{r}_0在無窮遠位置{\displaystyle\infty}\infty：。，可表示為，ε0是真空電容率。，電勢為零。由多個點電荷產(chǎn)生的電勢，相等于各點電荷所產(chǎn)生的電勢之和。此外，電勢場是標量場，電場則是向量場。、{\displaystyle\mathbf{E}_{2}}\mathbf{E}_2，則總電場為{\displaystyle\mathbf{E}_{t}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}}\mathbf{E}_t=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2。。。當計算一組電荷分布所產(chǎn)生的電勢時，只需要知道在電荷分布的每個源位置的單獨電荷所產(chǎn)生在檢驗位置的電勢，就可以應(yīng)用積分運算 ，得到整個電荷分布所產(chǎn)生在檢驗位置的電勢。 ，電勢的梯度為。，電場與電勢之間的關(guān)系為。，，{\displaystyle\rho}\rho是電荷密度，{\displaystyle\epsilon _{0}}\epsilon _{0}是電常數(shù)。。，則這方程變?yōu)槔绽狗匠蹋?/span>。，假若{\displaystyle\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}\neq 0}\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}\ne 0，也就是說，電場不具保守性（由于隨時間變化的磁場造成的效應(yīng)；參閱麥克斯韋方程組） ，則不能使用這些方程 。 ，所以，很多時候 ，使用電勢來解析問題會省去很多運算工作 ，帶來很大的便利 。 ，假設(shè)電荷密度為零，則電勢必須滿足拉普拉斯方程 ，并且符合所有相關(guān)邊界條件。 ，有三種邊界條件： 。 ，電勢的法向?qū)?shù)都已良態(tài)給定。具有這種邊界條件的問題稱為紐曼問題。。 。[3]分離之后 ，找到每一個常微分方程的通解（通常為一組本征方程的疊加） ，電勢可以表達為這些通解的乘積。將這表達式與邊界條件相匹配 ，就可以設(shè)定一般解的系數(shù)，從而找到問題的特解 。根據(jù)拉普拉斯方程的唯一性定理，這特解也是唯一的正確解答 。
、y--半平面的兩個導(dǎo)體的電勢分別設(shè)定為{\displaystyle+V}+V、{\displaystyle-V}-V。；、{\displaystyle A_{2}(k)}A_2(k)、{\displaystyle B_{1}(k)}B_1(k)、{\displaystyle B_{2}(k)}B_2(k)都是系數(shù)函數(shù)。，由{\displaystyle A_{1}(k)}A_1(k)項目貢獻出的電勢為。。。泊松方程的解答
，所產(chǎn)生在任意位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的電場為。，應(yīng)用疊加原理，總電場等于每一個點電荷所產(chǎn)生的電場的疊加。體積區(qū)域{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'內(nèi)部電荷密度為{\displaystyle\rho(\mathbf{r}')}\rho(\mathbf{r}')的電荷分布，在檢驗位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}所產(chǎn)生的電場為，{\displaystyle\mathrm2qkiasw^{3}r'}\mathrmyyq000s^3 r'是微小體積元素。，。。，就不能使用方程（1），必需使用更具功能的方法。，[5]；，{\displaystyle\mathbb{S}}\mathbb{S}是包住{\displaystyle\mathbb{V}}\mathbb{V}的閉表面，{\displaystyle\mathrmsoe08oc^{2}r}\mathrmmqqe0ie^2 r是微小面元素，{\displaystyle\partial\phi\over\partial n}\partial\phi\over\partial n或{\displaystyle\partial\phi\over\partial n}\partial\phi\over\partial n都是取垂直于閉表面{\displaystyle\mathbb{S}}\mathbb{S}的法向?qū)?shù)，都是從積分體積{\displaystyle\mathbb{V}}\mathbb{V}朝外指出。。應(yīng)用泊松方程{\displaystyle\nabla^{2}\phi(\mathbf{r})=-\rho/\epsilon _{0}}\nabla^2\phi(\mathbf{r})=-\rho/\epsilon_0，則可得到 。 。 ，則可得到 。 。這是{\displaystyle\mathbb{V}'}\mathbb{V}'體內(nèi)與體外之間的邊界曲面。面積分的第一個項目要求給定在邊界曲面的法向電場 ，即{\displaystyle E_{n'}=-{\partial\phi\over\partial n'}}E_{n'}=-{\partial\phi\over\partial n'} ，也就是面感應(yīng)電荷密度{\displaystyle\sigma=\epsilon _{0}E_{n'}}\sigma=\epsilon_0 E_{n'}。面積分的第二個項目要求給定在邊界曲面的電勢{\displaystyle\phi}\phi。假若能夠知道積分體積內(nèi)的電荷密度、在閉曲面的面電荷密度與電勢，就可以計算出在積分體積內(nèi)任意位置的電勢。，給定在邊界曲面的法向電場與電勢，可能會因為給定過多邊界條件，而造成無法計算出一致的電勢的狀況。實際而言，只要給定法向電場或電勢，兩者之一，就可以計算出電勢。[5]，則面積分的被積分項目會以{\displaystyle 1/r'^{3}}1/r'^3速率遞減，而積分面積會以{\displaystyle r'^{2}}r'^2速率遞增，所以，面積分項目會趨向于零，這方程約化為先前的電勢方程（1）。 ，能夠滿足方程