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基爾霍夫電壓定律
基爾霍夫電壓定律又稱為基爾霍夫第二定律，表明：
沿著閉合回路所有器件兩端的電勢(shì)差（電壓）的代數(shù)和等于零。
或者，換句話說(shuō)，
沿著閉合回路的所有電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和等于所有電壓降的代數(shù)和。
以方程表達(dá)，對(duì)于電路的任意閉合回路，
{\displaystyle\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0}\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0；
其中，{\displaystyle m}m是這閉合回路的器件數(shù)目，{\displaystyle v_{k}}v_{k}是器件兩端的電壓，可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。
基爾霍夫電壓定律不僅應(yīng)用于閉合回路，也可以把它推廣應(yīng)用于回路的部分電路。[需要解釋]
電場(chǎng)與電勢(shì)
在靜電學(xué)里，電勢(shì)定義為電場(chǎng)的負(fù)線積分：
{\displaystyle\phi(\mathbf{r}){\stackrel{def}{=}}-\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrm208mmuk{\boldsymbol{\ell}}\,\!}\phi(\mathbf{r}){\stackrel{def}{=}}-\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrmu0agiuy{\boldsymbol{\ell}}\,\!；
其中，{\displaystyle\phi(\mathbf{r})}\phi(\mathbf{r})是電勢(shì)，{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是電場(chǎng)，{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}是從參考位置到位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的路徑，{\displaystyle\mathrmiao00e0{\boldsymbol{\ell}}}\mathrmaaqkuy0{\boldsymbol{\ell}}是這路徑的微小線元素。
那么，基爾霍夫電壓定律可以等價(jià)表達(dá)為：
{\displaystyle\oint _{\mathbb{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0}\oint _{\mathbb{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0；
其中，{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}是積分的閉合回路。
這方程乃是法拉第電磁感應(yīng)定律對(duì)于一個(gè)特殊狀況的簡(jiǎn)化版本。假設(shè)通過(guò)閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的磁通量為常數(shù)，則這方程成立。
這方程指明，電場(chǎng)沿著閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的線積分為零。將這線積分切割為幾段支路，就可以分別計(jì)算每一段支路的電壓。
理論限制
由于含時(shí)電流會(huì)產(chǎn)生含時(shí)磁場(chǎng)，通過(guò)閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的磁通量是時(shí)間的函數(shù)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，會(huì)有電動(dòng)勢(shì){\displaystyle{\mathcal{E}}}{\mathcal{E}}出現(xiàn)于閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}。所以，電場(chǎng)沿著閉合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的線積分不等于零。這是因?yàn)殡娏鲿?huì)將能量傳遞給磁場(chǎng)
；反之亦然
，磁場(chǎng)亦會(huì)將能量傳遞給電流。
對(duì)于含有電感器的電路，必需將基爾霍夫電壓定律加以修正
。由于含時(shí)電流的作用，電路的每一個(gè)電感器都會(huì)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的電動(dòng)勢(shì){\displaystyle{\mathcal{E}}_{k}}{\mathcal{E}}_{k}
。必需將這電動(dòng)勢(shì)納入基爾霍夫電壓定律
，才能求得正確答案。
頻域
思考單頻率交流電路的任意節(jié)點(diǎn)，應(yīng)用基爾霍夫電流定律
{\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm{Re}{\Big\{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big\}}=\mathrm{Re}{\Big\{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big\}}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm{Re}{\Big\{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big\}}=\mathrm{Re}{\Big\{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big\}}=0；
其中，{\displaystyle i_{k}}i_{k}是第{\displaystyle k}k個(gè)進(jìn)入或離開(kāi)這節(jié)點(diǎn)的電流，{\displaystyle I_{k}}I_{k}是其振幅
，{\displaystyle\theta _{k}}\theta _{k}是其相位，{\displaystyle\omega}\omega是角頻率
，{\displaystyle t}t是時(shí)間
。
對(duì)于任意時(shí)間，這方程成立。所以，設(shè)定相量{\displaystyle\mathbb{I}_{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}}\mathbb{I}_{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}，則可以得到頻域的基爾霍夫電流定律，以方程表達(dá)，
{\displaystyle\sum _{k=1}^{n}\mathbb{I}_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}\mathbb{I}_{k}=0。
頻域的基爾霍夫電流定律表明：
所有進(jìn)入或離開(kāi)節(jié)點(diǎn)的電流相量的代數(shù)和等于零。
這是節(jié)點(diǎn)分析的基礎(chǔ)定律。
類似地，對(duì)于交流電路的任意閉合回路，頻域的基爾霍夫電壓定律表明：
沿著閉合回路所有器件兩端的電壓相量的代數(shù)和等于零。
以方程表達(dá)，
{\displaystyle\sum _{k=1}^{m}\mathbb{V}_{k}=0}\sum _{k=1}^{m}\mathbb{V}_{k}=0；
其中，{\displaystyle\mathbb{V}_{k}}\mathbb{V}_{k}是閉合回路的器件兩端的電壓相量。
這是網(wǎng)目分析（mesh analysis）的基礎(chǔ)定律。
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為基爾霍夫定律，指的是兩條電路學(xué)定律，基爾霍夫電流定律與基爾霍夫電壓定律。它們涉及了電荷的守恒及電勢(shì)的保守性。1845年，古斯塔夫·基爾霍夫首先提出基爾霍夫電路定律。現(xiàn)在 ，這定律被廣泛地應(yīng)用于電氣工程學(xué)。 。但是 ，基爾霍夫并不是依循這條思路發(fā)展 ，而是從格奧爾格·歐姆的工作成果加以推廣得之。
，從電荷守恒定律可以推導(dǎo)出這條定律。其實(shí)質(zhì)是穩(wěn)恒電流的連續(xù)性方程，即根據(jù)電荷守恒定律，流向節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流出節(jié)點(diǎn)的電流之和。。假設(shè)進(jìn)入這節(jié)點(diǎn)的電流為正值，離開(kāi)這節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)值，則經(jīng)過(guò)這節(jié)點(diǎn)的總電流{\displaystyle i}i等于流過(guò)支路{\displaystyle k}k的電流{\displaystyle i_{k}}i_{k}的代數(shù)和： 。 ；否則 ，負(fù)電荷會(huì)累積于節(jié)點(diǎn)。根據(jù)電荷守恒定律 ，{\displaystyle q}q是個(gè)常數(shù) ，不能夠隨著時(shí)間演進(jìn)而改變 。由于這節(jié)點(diǎn)是個(gè)導(dǎo)體，不能儲(chǔ)存任何電荷 。所以 ，{\displaystyle q=0}q=0、{\displaystyle i=0}i=0 ，基爾霍夫電流定律成立： 。 ，基爾霍夫電流定律才會(huì)成立 。通常，這不是個(gè)問(wèn)題 ，因?yàn)殪o電力相斥作用 ，會(huì)阻止任何正電荷或負(fù)電荷隨時(shí)間演進(jìn)而累積于節(jié)點(diǎn)，大多時(shí)候 ，節(jié)點(diǎn)的凈電荷是零 。 。這是因?yàn)殡娙萜鞯膬蓧K導(dǎo)板之間的空隙 ，會(huì)阻止分別累積于兩塊導(dǎo)板的異性電荷相遇，從而互相抵消。對(duì)于這狀況，流向其中任何一塊導(dǎo)板的電流總和等于電荷累積的速率，而不是零。但是，若將位移電流{\displaystyle\mathbf{J}_{D}}\mathbf{J}_{D}納入考慮，則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細(xì)節(jié)，請(qǐng)參閱條目位移電流。只有當(dāng)應(yīng)用基爾霍夫電流定律于電容器內(nèi)部的導(dǎo)板時(shí)，才需要這樣思考。若應(yīng)用于電路分析（circuit analysis）時(shí)，電容器可以視為一個(gè)整體器件，凈電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。 。 ，例如 ，SPICE或NI Multisim 。
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